Question

14．設等差數列{a_n }的前n項和為S_n，已知a₁=9，a₂為整數，且S_n≤S₅．
（1）求{a_n }的通項公式；
（2）設數列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n項和為T_n，求證：${T_n}≤\frac{4}{9}$．

Answer 1

分析 （1）a₁=9，a₂為整數，可知：等差數列{a_n }的公差d為整數，由S_n≤S₅，可得a₅≥，a₆≤0，可得d=-2．即可得出．
（2）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（11-2n）（9-2n）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{9-2n}-\frac{1}{11-2n}）$．利用“裂項求和”方法與數列的單調性即可得出．

解答 （1）解：a₁=9，a₂為整數，可知：等差數列{a_n }的公差d為整數，
由S_n≤S₅，∴a₅≥0，a₆≤0，則9+4d≥0，9+5d≤0，解得$-\frac{9}{4}≤d≤-\frac{9}{5}$，d為整數，d=-2．
∴a_n=9-2（n-1）=11-2n．
（2）證明：$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（11-2n）（9-2n）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{9-2n}-\frac{1}{11-2n}）$．
∴數列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n項和T_n=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{7}-\frac{1}{9}）$+$（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{9-2n}-\frac{1}{11-2n}）]$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{9-2n}-\frac{1}{9}）$．
令b_n=$\frac{1}{9-2n}$，由于函數f（x）=$\frac{1}{9-2x}$的圖象關于點（4.5，0）對稱及其單調性，可知：0＜b₁＜b₂＜b₃＜b₄，b₅＜b₆＜b₇＜…＜0，∴b_n≤b₄=1．∴${T}_{n}≤\frac{1}{2}（1-\frac{1}{9}）$=$\frac{4}{9}$．

點評 本題考查了“裂項求和”、等差數列的通項公式、函數的對稱性、數列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．