Question

無窮數列{

1

3n

sin

nπ

2

}前n項和的極限為

 

．

Answer 1

考點：數列的極限

專題：導數的綜合應用

分析：n=1時，a₁=

1

3

；n=2時，a₂=0；n=3時，-

1

33

；n=4時，a₄=0；n=5時，a5=

1

35

，…，可得n為偶數時，a_n=0；n為奇數時，a_n=

(-1) n+3 2

3n

．可得其極限．

解答： 解：n=1時，a₁=

1

3

；n=2時，a₂=0；n=3時，a₃=-

1

33

；n=4時，a₄=0；n=5時，a5=

1

35

，…，
可得n為偶數時，a_n=0；n為奇數時，a_n=

(-1) n+3 2

3n

．
利用無窮等比數列數列前n項和的極限=

a1

1-q

（q為等比數列{a_n}的公比，0＜|q|＜1，或q=-1）．
∴無窮數列{

1

3n

sin

nπ

2

}前n項和的極限=

1 3

1-(- 1 9 )

=

3

10

．
故答案為：

3

10

．

點評：本題考查了三角函數的周期性、無窮等比數列的}前n項和的極限，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．