Question

7．如圖為某市2017年2月28天的日空氣質量指數折線圖．

由中國空氣質量在線監測分析平臺提供的空氣質量指數標準如下：

空氣質量指數	（0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200]	（200，300]	300以上
空氣質量等級	1級優	2級良	3級輕度污染	4級中度污染	5級重度污染	6級嚴重污染

（Ⅰ）請根據所給的折線圖補全下方的頻率分布直方圖（并用鉛筆涂黑矩形區域），并估算該市2月份空氣質量指數監測數據的平均數（保留小數點后一位）；

（Ⅱ）研究人員發現，空氣質量指數測評中PM2.5與燃燒排放的CO兩個項目存在線性相關關系，以100ug/m³為單位，如表給出PM2.5與CO的相關數據：

CO（x）	0.5	1	1.5
PM2.5（y）	1	2	4

求y關于x的回歸方程，并估計當CO排放量是200ug/m³時，PM2.5的值．
（用最小二乘法求回歸方程的系數是$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n•\overline x•\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n•{{\overline x}^2}}}}$$，\hat a=\overline y-\hat b\overline x$）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由折線圖知空氣質量指數對應的頻數求出各小矩形的高，補全頻率分布直方圖，由此求出空氣質量指數監測數據的平均數值；
（Ⅱ）根據表中數據計算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸方程的系數，寫出回歸方程，利用回歸方程計算x=2時$\stackrel{∧}{y}$的值即可．

解答 解：（Ⅰ）由折線圖知空氣質量指數分別為（0，50]，（50，100]，
（100，150]，（150，200]的頻數分別為2，16，8，2，
∴各組對應的頻率分布為$\frac{1}{14}$，$\frac{4}{7}$，$\frac{2}{7}$，$\frac{1}{14}$；
∴各小矩形的高分別為$\frac{1}{700}$，$\frac{8}{700}$，$\frac{4}{700}$，$\frac{1}{700}$；
補全頻率分布直方圖，如圖所示：

利用頻率分布直方圖，計算空氣質量指數監測數據的平均數值為：
$\frac{1}{14}$×25+$\frac{4}{7}$×75+$\frac{2}{7}$×125+$\frac{1}{14}$×175≈92.9；
（Ⅱ）根據表中數據，計算
$\overline{x}$=$\frac{1}{3}$×（0.5+1+1.5）=1，
$\overline{y}$=$\frac{1}{3}$×（1+2+4）=$\frac{7}{3}$，
$\sum_{i=1}^{3}$x_iy_i=0.5+2+6=8.5，
$\sum_{i=1}^{3}$${{x}_{i}}^{2}$=0.25+1+2.25=3.5，
∴回歸方程的系數為
$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n•\overline x•\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n•{{\overline x}^2}}}}$=$\frac{8.5-3×1×\frac{7}{3}}{3.5-3{×1}^{2}}$=3，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=$\frac{7}{3}$-3×1=-$\frac{2}{3}$，
∴y關于x的回歸方程是$\stackrel{∧}{y}$=3x-$\frac{2}{3}$，
∴x=2時，$\stackrel{∧}{y}$=3×2-$\frac{2}{3}$=$\frac{16}{3}$；
即估計當CO排放量是200ug/m³時，PM2.5的值為$\frac{16}{3}$×100ug/m³．

點評 本題考查了頻率分布直方圖、折線圖以及回歸直線方程的求法與應用問題，是中檔題．