Question

13．△ABC的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知$\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{ab}$•（${\frac{a}{c}$cosB+$\frac{b}{c}$cosA）=1．
（1）求角C；
（2）若c=$\sqrt{7}$，△ABC的周長為5+$\sqrt{7}$，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析 （1）由題意和正、余弦定理化簡已知的式子，由兩角和的正弦公式、誘導公式化簡后，由內角的范圍和特殊角的三角函數值求出角C；
（2）由題意求出a+b的值，由余弦定理化簡后求出ab的值，代入三角形的面積公式求出△ABC的面積．

解答 解：（1）∵$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{ab}•（\frac{a}{c}cosB+\frac{b}{c}cosA）=1$，
∴由正、余弦定理得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，
則2cosCsin（A+B）=sinC，即2sinCcosC=sinC，
∵sinC≠0，∴$cosC=\frac{1}{2}$，
由0＜C＜π得，$C=\frac{π}{3}$；…（6分）
（2）由條件得，$a+b+c=5+\sqrt{7}$，且$c=\sqrt{7}$，
∴a+b=5，由余弦定理得：a²+b²-2abcosC=7，
則（a+b）²-3ab=7，解得ab=6，
∴△ABC的面積${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}absinC=\frac{3\sqrt{3}}{2}$…（12分）

點評 本題考查了正弦定理、余弦定理，兩角和的正弦公式、誘導公式等，以及三角形的面積公式的應用，注意內角的范圍，考查化簡、變形能力．