Question

3．已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若cosB=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，sin（A+B）=$\frac{{\sqrt{6}}}{9}$，則sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函數的基本關系求得sinB、cos（A+B）的值，再利用兩角和差的正弦公式求得sinA=sin[（A+B）-B]的值．

解答 解：△ABC中，∵cosB=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，∴sinB=$\sqrt{{1-cos}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∵sin（A+B）=$\frac{{\sqrt{6}}}{9}$＜sinB，∴A+B為鈍角，故cos（A+B）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（A+B）}$=-$\frac{5\sqrt{3}}{9}$，
則sinA=sin[（A+B）-B]=sin（A+B）cosB-cos（A+B）sinB=$\frac{\sqrt{6}}{9}$•$\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\frac{5\sqrt{3}}{9}$•$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故答案為：$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

點評 本題主要考查同角三角函數的基本關系、兩角和差的正弦公式的應用，要特別注意cos（A+B）的符號，屬于基礎題．