Question

11．若曲線f（x）=$\frac{1}{aln（x+1）}$（e-1＜x＜e²-1）和g（x）=-x³+x²（x＜0）上分別存在點A、B，使得△OAB是以原點O為直角頂點的直角三角形，且斜邊AB的中點在y軸上，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A． （e，e²）
• B． （e，$\frac{{e}^{2}}{2}$）
• C． （1，e²）
• D． [1，e）

Answer 1

分析 由題意設出A，B的坐標，代入函數解析式，利用中點坐標公式把B的坐標用A的坐標表示，由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$可得關于A的橫坐標的方程，分離參數a后構造函數h（x）=$\frac{x+1}{ln（x+1）}$，利用導數求其在（e-1＜x＜e²-1）上的單調性，得到函數的值域得答案．

解答 解：設A（x₁，y₁），y₁=f（x₁）=$\frac{1}{aln（{x}_{1}+1）}$，B（x₂，y₂），y₂=g（x₂）=-x₂³+x₂²（x＜0），
則$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=0，x₂=-x₁，∴${y}_{2}={{x}_{1}}^{3}+{{x}_{1}}^{2}$．
$\overrightarrow{OA}=（{x}_{1}，{y}_{1}）$，$\overrightarrow{OB}=（{x}_{2}，{y}_{2}）$，
由題意，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=0$，即${x}_{1}（-{x}_{1}）+\frac{1}{aln（{x}_{1}+1）}•（{{x}_{1}}^{3}+{{x}_{1}}^{2}）$=0，
∴${{x}_{1}}^{2}[-1+\frac{{x}_{1}+1}{aln（{x}_{1}+1）}]=0$，
∵e-1＜x₁＜e²-1，
∴$\frac{{x}_{1}+1}{aln（{x}_{1}+1）}-1=0$，
則$a=\frac{{x}_{1}+1}{ln（{x}_{1}+1）}$．
設h（x）=$\frac{x+1}{ln（x+1）}$，則h′（x）=$\frac{ln（x+1）-1}{l{n}^{2}（x+1）}$，
∵e-1＜x＜e²-1，
∴h′（x）＞0，
即函數h（x）=$\frac{x+1}{ln（x+1）}$在（e-1＜x＜e²-1）上為增函數，
則$\frac{e-1+1}{ln（e-1+1）}＜a＜\frac{{e}^{2}-1+1}{ln（{e}^{2}-1+1）}$，
即e＜a＜$\frac{{e}^{2}}{2}$．
∴實數a的取值范圍是（e，$\frac{{e}^{2}}{2}$）．
故選：B．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，考查數學轉化思想方法，考查邏輯思維能力和推理運算能力，屬中檔題．