Question

6．若以3，4，x為三邊組成一個銳角三角形．則x的取值范圍為（$\sqrt{7}$，5）．若以3，4，x為三邊組成一個鈍角三角形．則x的取值范圍為（5，7）或（1，$\sqrt{7}$）．

Answer 1

分析 第一問，利用余弦定理求出角的余弦值，令余弦值大于零即可；第二問，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出x的取值范圍，再由三角形是鈍角可求得x的最小值即可解題．

解答 解：若以3，4，x為三邊組成一個銳角三角形，
設(shè)三角形長為3，4，x的邊所對的角分別為A，B，C，顯然A＜B．
由余弦定理得cosB=$\frac{9+{x}^{2}-16}{6x}$，cosC=$\frac{9+16-{x}^{2}}{24}$，
∵△ABC是銳角三角形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\left.\begin{array}{l}{9+{x}^{2}-16＞0}\\{9+16-{x}^{2}＞0}\end{array}\right.}\\{x＞0}\end{array}\right.$，解得$\sqrt{7}$＜x＜5，
若以3，4，x為三邊組成一個鈍角三角形，x為最大邊，則cosC=$\frac{9+16-{x}^{2}}{24}$＜0，解得：x＞5，
由于三角形第三邊小于其余兩邊和，可得：x＜7，可得：x∈（5，7）．
如4為最大邊，可得：cosB=$\frac{9+{x}^{2}-16}{6x}$＜0，可得：x＜$\sqrt{7}$，
又由三角形第三邊小于其余兩邊和，可得：x+3＞4，可得：x∈（1，$\sqrt{7}$），
故答案為：（$\sqrt{7}$，5）．（5，7）或（1，$\sqrt{7}$）．

點評 本題考查了余弦定理，勾股定理的運用，考查了三角形三邊關(guān)系，本題中根據(jù)勾股定理求x＞5是解題的關(guān)鍵，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．