Question

12．已知f（x）為奇函數，且在（0，+∞）上是遞增的，若f（-3）=0，則xf（x）＞0的解集是（　　）

• A． {x|-3＜x＜0或x＞3}
• B． { x|x＜-3或0＜x＜3}
• C． { x|x＜-3或x＞3}
• D． { x|-3＜x＜0或0＜x＜3}

Answer 1

分析 由已知中函數的單調性和奇偶性結合f（-3）=0，可得各個區間上函數值的符號，進而得到xf（x）＞0的解集

解答 解：∵y=f（x）在（0，+∞）上單調遞增，且f（-3）=-f（3）=0，
∴當x∈（0，3）時，f（x）＜0，此時xf（x）＜0
當x∈（3，+∞）時，f（x）＞0，此時xf（x）＞0
又∵y=f（x）為奇函數，
∴y=f（x）在（-∞，0）上單調遞增，且f（-3）=0，
∴當x∈（-∞，-3）時，f（x）＜0，此時xf（x）＞0
當x∈（-3，0）時，f（x）＞0，此時xf（x）＜0
綜上xf（x）＞0的解集為（-∞，-3）∪（3，+∞）
故選C．

點評 本題考查的知識點是函數的奇偶性和函數的單調性，其中根據奇函數的單調性在對稱區間上相同，判斷出函數的單調性是解答的關鍵．