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4.已知冪函數f(x)=xa的圖象經過點($\sqrt{3}$,$\frac{1}{3}$).
(1)求函數f(x)的解析式,并判斷奇偶性;
(2)判斷函數f(x)在(-∞,0)上的單調性,并用單調性定義證明.
(3)作出函數f(x)在定義域內的大致圖象(不必寫出作圖過程).

分析 (1)利用冪函數經過的點,求解函數的解析式,利用奇偶性的定義判斷即可.
(2)利用函數單調性的定義證明即可;
(3)畫出函數的圖象即可.

解答 解:(1)依題得:$\frac{1}{3}$=$(\sqrt{3})^{m}$,m=-2.
故f(x)=x-2.…(3分)
f(-x)=(-x)-2=$\frac{1}{{x}^{2}}$=x-2=f(x),
所以,f(x)是偶函數…(4分)
(2)假設任意x1<x2<0
f(x1)-f(x2)=x1-2-x2-2=$\frac{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{({x}_{1}+{x}_{2})({x}_{2}{-x}_{1})}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$<0,
∴f(x1)<f(x2
∴f(x)在(-∞,0)上是增函數.…(8分)
(3)如圖.…(12分)

點評 本題考查函數的圖象的畫法,函數的單調性以及函數的奇偶性的判斷與應用,考查計算能力.

練習冊系列答案
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(Ⅱ)求AD.

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