Question

4．已知冪函數f（x）=x^a的圖象經過點（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{3}$）．
（1）求函數f（x）的解析式，并判斷奇偶性；
（2）判斷函數f（x）在（-∞，0）上的單調性，并用單調性定義證明．
（3）作出函數f（x）在定義域內的大致圖象（不必寫出作圖過程）．

Answer 1

分析 （1）利用冪函數經過的點，求解函數的解析式，利用奇偶性的定義判斷即可．
（2）利用函數單調性的定義證明即可；
（3）畫出函數的圖象即可．

解答 解：（1）依題得：$\frac{1}{3}$=$（\sqrt{3}）^{m}$，m=-2．
故f（x）=x^-2．…（3分）
f（-x）=（-x）^-2=$\frac{1}{{x}^{2}}$=x^-2=f（x），
所以，f（x）是偶函數…（4分）
（2）假設任意x₁＜x₂＜0
f（x₁）-f（x₂）=x₁^-2-x₂^-2=$\frac{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{2}{-x}_{1}）}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（-∞，0）上是增函數．…（8分）
（3）如圖．…（12分）

點評 本題考查函數的圖象的畫法，函數的單調性以及函數的奇偶性的判斷與應用，考查計算能力．