Question

13．已知動點P與雙曲線$\frac{y^2}{9}$-$\frac{x^2}{16}$=1的兩個焦點F₁，F₂所連線段的和為6$\sqrt{5}$，
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）若$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$=0，求點P的坐標；
（3）求角∠F₁PF₂余弦值的最小值．

Answer 1

分析 （1）直接利用橢圓的定義，動點到兩定點的距離等于2a（a＞c）；
（2）直接利用向量坐標乘積，求出P的坐標；
（3）利用解三角形余弦定理公式與不等式關系可求出最小值；

解答 解：雙曲線$\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1$ 的兩個焦點為F₁（0，5），F₂（0，-5）；
（1）PF₁+PF₂=$6\sqrt{5}$故動點P的軌跡是橢圓；
軌跡方程是  $\frac{y^2}{45}+\frac{x^2}{20}=1$；
（2）由$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$ 得：PF₁⊥PF₂；
設P（x，y），則$\frac{y-5}{x}•\frac{y+5}{x}=-1$；
又  $\frac{y^2}{45}+\frac{x^2}{20}=1$；
解得：P（4，3），P（4，-3），P（-4，3），P（-4，-3）；
（3）△PF₁F₂ 中，cos∠F₁PF₂=$\frac{{P{F_1}^2+P{F_2}^2-{F_1}{F_2}^2}}{{2P{F_1}•P{F_2}}}$；
PF₁+PF₂=$6\sqrt{5}$，F₁F₂=10，又$\frac{{P{F_1}+P{F_2}}}{2}≥\sqrt{P{F_1}•P{F_2}}$；
∴$cos∠{F_1}P{F_2}=\frac{{{{（6\sqrt{5}）}^2}-2P{F_1}•P{F_2}-{{10}^2}}}{{2P{F_1}•P{F_2}}}≥-\frac{1}{9}$

點評 本題主要考查了橢圓定義、雙曲線基本性質，向量運算以及余弦定理等知識點，屬中等題．