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13.已知動點P與雙曲線$\frac{y^2}{9}$-$\frac{x^2}{16}$=1的兩個焦點F1,F2所連線段的和為6$\sqrt{5}$,
(1)求動點P的軌跡方程;
(2)若$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$=0,求點P的坐標;
(3)求角∠F1PF2余弦值的最小值.

分析 (1)直接利用橢圓的定義,動點到兩定點的距離等于2a(a>c);
(2)直接利用向量坐標乘積,求出P的坐標;
(3)利用解三角形余弦定理公式與不等式關系可求出最小值;

解答 解:雙曲線$\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1$ 的兩個焦點為F1(0,5),F2(0,-5);
(1)PF1+PF2=$6\sqrt{5}$故動點P的軌跡是橢圓;
軌跡方程是  $\frac{y^2}{45}+\frac{x^2}{20}=1$;
(2)由$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$ 得:PF1⊥PF2
設P(x,y),則$\frac{y-5}{x}•\frac{y+5}{x}=-1$;
又  $\frac{y^2}{45}+\frac{x^2}{20}=1$;
解得:P(4,3),P(4,-3),P(-4,3),P(-4,-3);
(3)△PF1F2 中,cos∠F1PF2=$\frac{{P{F_1}^2+P{F_2}^2-{F_1}{F_2}^2}}{{2P{F_1}•P{F_2}}}$;
PF1+PF2=$6\sqrt{5}$,F1F2=10,又$\frac{{P{F_1}+P{F_2}}}{2}≥\sqrt{P{F_1}•P{F_2}}$;
∴$cos∠{F_1}P{F_2}=\frac{{{{(6\sqrt{5})}^2}-2P{F_1}•P{F_2}-{{10}^2}}}{{2P{F_1}•P{F_2}}}≥-\frac{1}{9}$

點評 本題主要考查了橢圓定義、雙曲線基本性質,向量運算以及余弦定理等知識點,屬中等題.

練習冊系列答案
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