Question

5．已知函數f（x）=asinx-bcosx（其中a，b為正實數）的圖象關于直線x=-$\frac{π}{6}$對稱，且?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，f（x₁）f（x₂）≤4恒成立，則下列結論正確的是（　　）

• A． $a=\sqrt{3}，b=1$
• B． 不等式f（x₁）f（x₂）≤4取到等號時|x₁-x₂|的最小值為2π
• C． 函數f（x）的圖象一個對稱中心為 $（{\frac{2}{3}π，0}）$
• D． 函數f（x）在區間$[{\frac{π}{6}，π}]$上單調遞增

Answer 1

分析 利用函數的對稱軸，判斷A的正誤；
利用函數的最值，判斷B的正誤；
通過函數的周期以及對稱性判斷C的正誤；
利用對稱軸以及周期判斷D的正誤；

解答 解：對于A，函數f（x）=asinx-bcosx（其中a，b為正實數）的圖象關于直線x=-$\frac{π}{6}$對稱，
可得$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\frac{a}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}b$，顯然A不正確．
對于B，?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，f（x₁）f（x₂）≤4恒成立，說明函數最大值為2，不等式f（x₁）f（x₂）≤4取到等號時|x₁-x₂|的最小值為2π，滿足題意．
對于C，函數f（x）=asinx-bcosx（其中a，b為正實數）的圖象關于直線x=-$\frac{π}{6}$對稱，周期為2π，函數f（x）的圖象一個對稱中心為$（\frac{π}{3}，0）$，不是 $（{\frac{2}{3}π，0}）$，所以C不正確；
對于D，函數f（x）=asinx-bcosx（其中a，b為正實數）的圖象關于直線x=-$\frac{π}{6}$對稱，x=-$\frac{π}{6}$函數取得最小值，x=$\frac{5π}{6}$，函數取得最大值，函數f（x）在區間$[{\frac{π}{6}，π}]$上單調遞增是不正確的．
故選：B．

點評 本題考查命題的真假的判斷與應用，三角函數的最值，考查分析問題解決問題的能力．