Question

18．如圖，在∠ABC=60°，∠C=90°，BC=40米的直角三角形地塊中劃出一塊矩形CDEF地塊進行綠化．
（1）若要使矩形地塊的面積不小于300$\sqrt{3}$平方米，求CF長的取值范圍；
（2）當矩形地塊面積最大時，現欲修建一條道路MN，把矩形地塊分成面積為1：3的兩部分，且點M在邊CF上，點N在邊CD上，求MN的最小值．

Answer 1

分析 （1）設CF=x，則BF=40-x，由矩形的面積公式建立關系式，利用矩形地塊的面積不小于$300\sqrt{3}$，求解可得AN的取值范圍；
（2）CM=m，CN=n，則有$mn=200\sqrt{3}$，利用均值不等式（注意條件，正，定，相等）可求出相應的最小值．

解答 解：（1）設CF=x，則BF=40-x．
因為∠ABC=60°，所以$EF=\sqrt{3}（40-x）$，所以${S_{CDEF}}=\sqrt{3}x（40-x）$．
由于矩形地塊的面積不小于$300\sqrt{3}$，所以有$\sqrt{3}x（40-x）≥300\sqrt{3}$，
解得CF長度的取值范圍為[10，30]；
（2）由（1）可知${S_{CDEF}}=\sqrt{3}x（40-x）≤\sqrt{3}{（\frac{x+40-x}{2}）^2}$$≤400\sqrt{3}$（x∈（0，40）），
當x=20時取最大值．所以矩形地塊的面積最大值為$400\sqrt{3}$．
由題意可知，當矩形的面積被分為兩塊的面積之比為1：3時，
則有${S_{CMN}}=\frac{1}{2}{S_{CDF}}$=$100\sqrt{3}$．
設CM=m，CN=n，則有$mn=200\sqrt{3}$（0＜m＜20，0＜n＜20），
所以$MN=\sqrt{{m^2}+{n^2}}$$≥\sqrt{2mn}$=$20\root{4}{3}$，當且僅當$m=n=\sqrt{200\sqrt{3}}$時取最小值．

點評 考查學生會根據實際問題選擇函數關系的能力，利用基本不等式求最值的能力，屬于中檔題．