Question

等腰Rt△ABC中，斜邊BC=4

2

，一個橢圓以C為其中一個焦點，另一焦點在線段AB上，且橢圓經過A，B兩點，則該橢圓的離心率是

 

．

Answer 1

分析：由題意知，等腰Rt△ABC的周長等于 4a，解出a 值，再根據 AD=2a-AC=2

2

，Rt△ACD中，由勾股定理求得c值，計算可得答案．

解答：解：∵等腰Rt△ABC中，斜邊BC=4

2

，∴AB=AC=4，
設另一個焦點為 D，
由橢圓的定義知，AC+AD=BD+BC=2a，
故等腰Rt△ABC的周長等于4a，
∴4a=4+4+4

2

，a=2+

2

，
又AD=2a-AC=2a-4=2

2

，
Rt△ACD中，由勾股定理得（2c）²=4²+(2

2

)2，∴c=

6

，
∴e=

c

a

=

6

2+ 2

=

6 (2- 2 )

2

=

6

-

3

，
故答案為

6

-

3

．

點評：本題考查橢圓的定義、勾股定理，以及橢圓的簡單性質的應用．