Question

2．已知函數f（x）=lg（$\sqrt{1+{x}^{2}}$-x）-1，則f（ln2）+f（ln$\frac{1}{2}$）=（　　）

• A． -2
• B． -1
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 根據題意，構造函數g（x）=f（x）+1，分析可得函數g（x）為奇函數，由對數的運算性質可得ln2=-ln$\frac{1}{2}$，結合函數的奇偶性可得g（ln2）+g（ln$\frac{1}{2}$）=0，結合g（x）的解析式可得f（ln2）+1+f（ln$\frac{1}{2}$）+1=0，計算可得f（ln2）+f（ln$\frac{1}{2}$）的值，即可得答案．

解答 解：根據題意，令g（x）=f（x）+1，則g（x）=f（x）+1=lg（$\sqrt{1+{x}^{2}}$-x），
g（x）=lg（$\sqrt{1+{x}^{2}}$-x），其定義域為R，
且g（-x）=lg（$\sqrt{1+{x}^{2}}$+x）=-lg（$\sqrt{1+{x}^{2}}$-x）=-g（x），則函數g（x）為奇函數，
又由ln2=-ln$\frac{1}{2}$，
則有g（ln2）+g（ln$\frac{1}{2}$）=0，
即f（ln2）+1+f（ln$\frac{1}{2}$）+1=0，
即f（ln2）+f（ln$\frac{1}{2}$）=-2；
故選：A．

點評 本題考查函數奇偶性的應用，關鍵構造并分析函數g（x）=f（x）+1的奇偶性．