Question

【題目】如圖，為等腰直角三角形，，D為AC上一點，將沿BD折起，得到三棱錐，且使得在底面BCD的投影E在線段BC上，連接AE.

（1）證明：；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由折疊過程知與平面垂直，得，再取中點，可證與平面垂直，得，從而可得線面垂直，再得線線垂直；

（2）由已知得為中點，以為原點，所在直線為軸，在平面內過作的垂線為軸建立空間直角坐標系，由已知求出線段長，得出各點坐標，用平面的法向量計算二面角的余弦．

（1）易知與平面垂直，∴，

連接，取中點，連接，

由得，，

∴平面，平面，∴，

又，∴平面，∴；

（2）由，知是中點，

令，則，

由，，

∴，解得，故．

以為原點，所在直線為軸，在平面內過作的垂線為軸建立空間直角坐標系，如圖，

則，

，，設平面的法向量為，

則，取，則．

又易知平面的一個法向量為，

．

∴二面角的余弦值為．