Question

19．如圖，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足為E，ED=3BE，點P，Q分別在BD，AD上，
則AP+PQ的最小值為（　　）

• A． $2\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $2\sqrt{3}$
• D． $3\sqrt{3}$

Answer 1

分析 在Rt△ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的長，設A點關于BD的對稱點A′，連接A′D，可證明△ADA′為等邊三角形，當PQ⊥AD時，則PQ最小，所以當A′Q⊥AD時AP+PQ最小，從而可求得AP+PQ的最小值等于DE的長，可得出答案..

解答 解：設BE=x，則DE=3x，
∵四邊形ABCD為矩形，且AE⊥BD，∴△ABE∽△DAE，
∴AE²=BE•DE，即AE²=3x²，∴AE=$\sqrt{3}$x，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD²=AE²+DE²，即${6^2}={（\sqrt{3}x）^2}+{（3x）^2}$，解得x=$\sqrt{3}$，
∴AE=3，DE=$3\sqrt{3}$，
如圖，設A點關于BD的對稱點為A′，連接A′D，PA′，則A′A=2AE=6=AD，AD=A′D=6，
∴△AA′D是等邊三角形，
∵PA=PA′，∴當A′、P、Q三點在一條線上時，A′P+PQ最小，
又垂線段最短可知當PQ⊥AD時，A′P+PQ最小，∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE=$3\sqrt{3}$，
故選D．
    

點評 本題主要考查軸對稱的應用，利用最小值的常規解法確定出A的對稱點，從而確定出AP+PQ的最小值的位置是解題的關鍵，利用條件證明△A′DA是等邊三角形，借助幾何圖形的性質可以減少復雜的計算．