Question

8．在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-5+\sqrt{2}cost}\\{y=3+\sqrt{2}sint}\end{array}\right.$（t為參數），在以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立的極坐標系中，直線l的極坐標方程為$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=-1．
（1）求圓C的普通方程和直線l的直角坐標方程；
（2）設直線l與x軸，y軸分別交于A，B兩點，點P是圓C上任一點，求A，B兩點的極坐標和△PAB面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）由圓C的參數方程消去t得到圓C的普通方程，由直線l的極坐標方程，利用兩角和與差的余弦函數公式化簡，根據x=ρcosθ，y=ρsinθ轉化為直角坐標方程即可；
（2）直線l與x軸，y軸的交點為A（0，2），B（-2，0），化為極坐標，并求出|AB|的長，根據P在圓C上，設出P坐標，利用點到直線的距離公式表示出P到直線l的距離，利用余弦函數的值域確定出最小值，即可確定出三角形PAB面積的最小值．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=-5+\sqrt{2}cost}\\{y=3+\sqrt{2}sint}\end{array}\right.$（t為參數），消去參數t，得圓C的普通方程（x+5）²+（y-3）²=2．
由$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=-1，得ρcosθ-ρsinθ=-2，
所以直線l的直角坐標方程為x-y+2=0．
（2）直線l與x軸，y軸的交點為A（0，2），B（-2，0），化為極坐標為A（2，π），B（2，$\frac{π}{2}$），
設P點的坐標為（-5+$\sqrt{2}$cost，3+$\sqrt{2}$sint），
∴P點到直線l的距離為d=$\frac{|-5+\sqrt{2}cost-3-\sqrt{2}sint+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|-6+2cos（t+\frac{π}{4}）|}{\sqrt{2}}$
∴d_min=2$\sqrt{2}$，
∵|AB|=2$\sqrt{2}$，
則△PAB面積的最小值是S=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=4．

點評 此題考查了圓的參數方程，以及簡單曲線的極坐標方程，熟練掌握參數方程與普通方程間的轉換是解本題的關鍵．