Question

3．求適合下列條件的圓錐曲線的標準方程．
（1）與橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1有公共焦點，且離心率為2的雙曲線；
（2）中心在坐標原點，經過點A（2，3），且點F（2，0）為其右焦點的橢圓．

Answer 1

分析 （1）設雙曲線的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）．橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦點（±4，0），$\frac{c}{a}$=2，c²=a²+b²，聯立解得即可得出．
（2）依題意，可設橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}-{b}^{2}=4}\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 解：（1）設雙曲線的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）．
橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦點（±4，0），$\frac{c}{a}$=2，c²=a²+b²，聯立解得a=2，b=2$\sqrt{3}$．
即所求雙曲線的方程$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
（2）依題意，可設橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}-{b}^{2}=4}\end{array}\right.$，
解得b²=12，a²=16，
所以橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．

點評 本題考查了橢圓與雙曲線的定義標準方程及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．