Question

15．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形，F是BC的中點，且PA=BC=2AB=2．
（1）求證：CD⊥PA
（2）線段PA是否存在一點E，使得EF∥平面PCD？若有，請找出具體位置，并加以證明，若無，請分析說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據PA⊥底面ABCD可以推知CD⊥PA；
（2）當E是PA的中點時，EF∥平面PCD．如圖，取PD的中點G，連接EG、CG，構建平行四邊形EFCG，結合平行四邊形的對邊相互平行的性質和線面平行的性質證得結論EF∥平面PCD．

解答 證明：（1）又因為PA⊥底面ABCD，
CD?底面ABCD，所以CD⊥PA；
解：（2）當E是PA的中點時，EF∥平面PCD，
取PD的中點G，連接EG、CG，
又因為E、F分別是PA、BC的中點，底面ABCD為矩形，
所以EG∥AD∥FC且EG∥$\frac{1}{2}$AD∥FC，
所以四邊形EFCG是平行四邊形，
所以EF∥GC．
又因為EF?平面PCD，GC?平面PCD，
所以EF∥平面PCD．

點評 本題以底面為長方形、一條側棱垂直于底的四棱錐為載體，通過證明線面平行、垂直，著重考查了線面平行的判定定理、線面垂直的判定與性質等知識點，屬于中檔題．