Question

7．過點P（2，1）作直線l交x軸、y軸的正半軸于A，B兩點，O為坐標原點．
（1）當△AOB的面積為$\frac{9}{2}$時，求直線l的方程；
（2）當△AOB的面積最小時，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設直線l斜截式方程y-1=k（x-2），結合直線與坐標軸的交點的求法、三角形的面積公式求得k的值即可；
（2）利用（1）中△AOB的面積為S=$\frac{1}{2}$×|2-$\frac{1}{k}$|×|1-2k|和不等式的性質進行解答．

解答 解：（1）設直線方程為y-1=k（x-2），
分別令x=0，y=0得A（1-2k，0），B（0，2-$\frac{1}{k}$），
故△AOB的面積為S=$\frac{1}{2}$×|2-$\frac{1}{k}$|×|1-2k|=$\frac{9}{2}$，
解得k=-1或k=-$\frac{1}{4}$，
故所求直線為x+y-3=0或x+4y-6=0；
（2）由（1）知S=$\frac{1}{2}$×|2-$\frac{1}{k}$|×|1-2k|=$\frac{1}{2}$（2-$\frac{1}{k}$）（1-2k）=2-2k-$\frac{1}{2k}$=2+（-2k-$\frac{1}{2k}$）≥2+2=4，
故S_min=4，此時k=-$\frac{1}{2}$，直線l的方程為x+2y-4=0．

點評 本題給出經過定點的直線，求滿足特殊條件的直線方程．著重考查了直線的基本量與基本形式、基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．