Question

6．已知函數f（x）=ax²-4ax+b（a＞0）在區間[0，1]上有最大值1和最小值-2．
（1）求a，b的值；
（2）若在區間[-1，1]上，不等式f（x）＞-x+m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）函數圖象開口向上，對稱軸x=2，故f（x）在[0，1]遞減；進而根據在區間[0，1]上有最大值1和最小值-2，可得a，b的值；
（2）若在區間[-1，1]上，不等式f（x）＞-x+m恒成立，函數g（x）=x²-3x+1-m在[-1，1]上的最小值大于0，進而可得實數m的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=a（x²-4x）+b=a（x-2）²+b-4a
∵a＞0，
∴函數圖象開口向上，對稱軸x=2，
∴f（x）在[0，1]遞減；
∴f（0）=b=1，且f（1）=b-3a=-2，
∴a=b=1；
（2）f（x）＞-x+m等價于x²-4x+1＞-x+m，
即x²-3x+1-m＞0，要使此不等式在[-1，1]上恒成立，
只需使函數g（x）=x²-3x+1-m在[-1，1]上的最小值大于0即可．
∵g（x）=x²-3x+1-m在[-1，1]上單調遞減，
∴g（x）_min=g（1）=-m-1，由-m-1＞0得，m＜-1．
因此滿足條件的實數m的取值范圍是（-∞，-1）．

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．