Question

7．已知函數f（x）=lnx，g（x）=x-$\frac{1}{2}$x²．
（Ⅰ）若點P是函數f（x）=lnx上任意一點，求點P到直線y=x+1的最小距離；
（Ⅱ）當x＞e時，求證函數f（x）=lnx的圖象位g（x）=x-$\frac{1}{2}$x²圖象的上方．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設x-y+m=0與函數f（x）=nx的圖象相切于點P（x₀，y₀）．求導，解得x₀．再利用點到直線的距離公式即可得出．
（II）構造新函數h（x）=f（x）-g（x），求出h（x）的導函數，判斷出h′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，判斷出h（x）遞增，求出h（x）的最小值，判斷出最小值大于0，判斷出h（x）＞0，判斷出f（x）＞g（x），得證．

解答 解：（Ⅰ）設x-y+m=0與函數f（x）=lnx的圖象相切于點P（x₀，y₀）．
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$=，
∴f′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$=1，
∵x₀＞0，
解得x₀=1．
∴y₀=1，
∴點P（1，1）到直線y=x+1的距離為最小距離d=$\frac{|1-1+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
（Ⅱ）設h（x）=f（x）-g（x）=lnx-x+$\frac{1}{2}$x²，x＞e，
∴h′（x）=$\frac{1}{x}$-1+x=$\frac{{x}^{2}-x+1}{x}$＞0恒成立，
∴h（x）在（e，+∞）為增函數，
∴h（x）＞h（e）=lne-e+$\frac{1}{2}$e²=1-e+$\frac{1}{2}$e²=1+e（$\frac{1}{2}$e-1）＞0，
∴x＞e時，函數f（x）=lnx的圖象位g（x）=x-$\frac{1}{2}$x²圖象的上方

點評 考查導數研究曲線上某點的切線方程以及點到直線的距離公式，利用了導數與斜率的關系，不等式常轉化為求函數的最值，屬于中檔題