Question

11．已知x，y，z均為非負數且x+y+z=2，則$\frac{1}{3}$x³+y²+z的最小值為$\frac{13}{12}$．

Answer 1

分析 利用導函數研究單調性，求其最小值即可．

解答 解：∵x＞，y＞，z＞0，且x+y+z=2，
∴Z=2-x-y，即x+y≤2．
那么：令函數h=$\frac{1}{3}$x³+y²+z=$\frac{1}{3}$x³+y²+2-x-y．
令f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x，
則f′（x）=x²-1，
當x在（0，1）時，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上是單調遞減；
當x在（1，2）時，f′（x）＞0，∴f（x）在（1，2）上是單調遞增；
∴f（x）_min=f（1）
同理：令g（y）=y²-y
則g′（y）=2y-1，
當y在（0，$\frac{1}{2}$）時，g′（y）＜0，∴g（y）在（0，$\frac{1}{2}$）上是單調遞減；
當y在（1，2）時，g′（y）＞0，∴g（y）在（$\frac{1}{2}$，2）上是單調遞增；
∴g（y）_min=g（$\frac{1}{2}$）
故當x=1，y=$\frac{1}{2}$時，函數h取得最小值，即h=$\frac{1}{3}-1$$+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+2$=$\frac{13}{12}$，
故答案為：$\frac{13}{12}$．

點評 本題考查了利用導函數研究單調性，求其最小值．屬于中檔題．