Question

6．如圖，已知半圓O的半徑為1，點C在直徑AB的延長線上，且BC=1，P是半圓上動點，以PC為一邊作等腰直角三角形PCK（K為直角頂點，且K和O在PC的兩側）．
（1）求四邊形OPKC面積的最大值；
（2）設t=$\frac{△POC的面積}{△PCK的面積}$，求t的最大值．

Answer 1

分析 （1）可以設∠POB=θ，四邊形面積為y，然后，建立關系式，構造面積關系式，最后利用三角函數知識求解最值；
（2）由t=$\frac{△POC的面積}{△PCK的面積}$=$\frac{4sinθ}{5-4cosθ}$，由半角公式及同角三角函數基本關系，求得t═$\frac{8tan\frac{θ}{2}}{9ta{n}^{2}\frac{θ}{2}+1}$=$\frac{8}{9tan\frac{θ}{2}+\frac{1}{tan\frac{θ}{2}}}$≤$\frac{8}{2×\sqrt{9tan\frac{θ}{2}•\frac{1}{tan\frac{θ}{2}}}}$=$\frac{4}{3}$，即可求得t的最大值．

解答 解：（1）設∠POC=θ，0＜θ＜π，
則在△POC中，由余弦定理得：PC²=OP²+OC²-2OP•OCcosθ=5-4cosθ．
∴PC²=5-4cos θ，…（4分）
S_OPKC=S_△OPC+S_△PCD=$\frac{1}{2}$×1×2sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{4}$（5-4cosθ）
=2sin（θ-$\frac{π}{3}$）+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，
當θ-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{5π}{6}$時，四邊形OPKC面積的最大值；，
最大值為：2+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$；
（2）t=$\frac{△POC的面積}{△PCK的面積}$，
=$\frac{4sinθ}{5-4cosθ}$，
=$\frac{8sin\frac{θ}{2}cos\frac{θ}{2}}{5（si{n}^{2}\frac{θ}{2}+co{s}^{2}\frac{θ}{2}）-4（co{s}^{2}\frac{θ}{2}-si{n}^{2}\frac{θ}{2}）}$，
=$\frac{8sin\frac{θ}{2}cos\frac{θ}{2}}{9si{n}^{2}\frac{θ}{2}+co{s}^{2}\frac{θ}{2}}$，
=$\frac{8tan\frac{θ}{2}}{9ta{n}^{2}\frac{θ}{2}+1}$，
=$\frac{8}{9tan\frac{θ}{2}+\frac{1}{tan\frac{θ}{2}}}$≤$\frac{8}{2×\sqrt{9tan\frac{θ}{2}•\frac{1}{tan\frac{θ}{2}}}}$=$\frac{4}{3}$，
當且僅當tan$\frac{θ}{2}$=$\frac{1}{3}$時，取“=”，
t的最大值為：$\frac{4}{3}$，

點評 本題重點考查了三角函數的輔助角公式、三角恒等變換等知識，基本不等式的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．