Question

11．已知函數y=f（x）（x∈R）滿足f（-x）=-f（x），其導函數為y=f′（x），當x＞0時，xf′（x）＜f（x），若$a=2f（\frac{1}{2}），b=-\frac{1}{2}f（-2），c=-\frac{1}{ln2}f（ln\frac{1}{2}）$，則a，b，c的大小關系為（　　）

• A． a＜b＜c
• B． b＜c＜a
• C． b＜a＜c
• D． c＜a＜b

Answer 1

分析 構造函數g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，函數g（x）單調遞減，再根據函數的奇偶性得到g（x）為偶函數，即可判斷．

解答 解：構造函數g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
∴g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵xf′（x）-f（x）＜0，
∴g′（x）＜0，
∴函數g（x）在（-∞，0）和（0，+∞）單調遞減．
∵函數f（x）為奇函數，
∴g（x）=$\frac{f（x）}{x}$是偶函數，
$a=2f（\frac{1}{2}），b=-\frac{1}{2}f（-2），c=-\frac{1}{ln2}f（ln\frac{1}{2}）$，
即a=g（$\frac{1}{2}$），b=g（-2）=g（2），c=g（ln$\frac{1}{2}$）=g（ln2），
∵2＞ln2＞$\frac{1}{2}$，
∴g（$\frac{1}{2}$）＞g（ln$\frac{1}{2}$）＞g（2），
∴a＞c＞b，
故選：B．

點評 本題考查了通過構造函數利用導數研究函數的單調性比較大小，考查了推理能力，屬于中檔題．