Question

10．若半徑為2的球O內(nèi)切于一個正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，則該三棱柱的體積為48$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 推導出正三棱柱ABC-A₁B₁C的高是直徑2R=4，正三角形△ABC的邊長是AB=4$\sqrt{3}$，由此能求出該三棱柱的體積．

解答 解：∵半徑為2的球O內(nèi)切于一個正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∴正三棱柱ABC-A₁B₁C的高是直徑2R=4，
正三棱柱ABC-A₁B₁C₁底面正三角形△ABC的內(nèi)切圓的半徑是2，
∴$\sqrt{3}×AB=2×3=6$，
∴正三角形△ABC的邊長是AB=4$\sqrt{3}$，
∴該三棱柱的體積為：
V=$\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×4\sqrt{3}×sin60°×4$=48$\sqrt{3}$．
故答案為：48$\sqrt{3}$．

點評 本題考查三棱柱的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意三棱柱的性質(zhì)的合理運用．