Question

18．已知函數f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$．
（1）當a=-3時，求函數f（x）的單調增區間；
（2）若函數f（x）在[1，e]上的最小值為$\frac{3}{2}$，求實數a的值．

Answer 1

分析 （1）要求函數f（x）的單調增區間，即求導函數值大于等于0的區間，我們根據求出函數導函數的解析式，結合函數的定義域，即可得到答案．
（2）由（1）中函數的導函數的解析式，我們對a的取值進行分析討論，求出對應的函數的單調區間，并分析函數f（x）在[1，e]上何時取最小值，分析后即可得到答案．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$，∴函數的定義域為（0，+∞）
且f'（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$，
a=-3時：f′（x）=$\frac{x-3}{{x}^{2}}$
令f′（x）＞0，解得：x＞3，
故f（x）在（3，+∞）遞增；
（2）由（1）可知，f'（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$，
①若a≥-1，則x+a≥0，則f'（x）≥0恒成立，
函數f（x）在[1，e]上為增函數
∴f（x）的最小值為：f（1）=-a=$\frac{3}{2}$，此時a=-$\frac{3}{2}$（舍去）
②若a≤-e，則f'（x）≤0恒成立，
函數f（x）在[1，e]上為減函數
∴f（x）的最小值為：f（e）=1-$\frac{a}{e}$=$\frac{3}{2}$，
此時a=-$\frac{e}{2}$（舍去）
③若-e＜a＜-1，當1＜x＜-a時，則f'（x）＜0，
當-a＜x＜e時，f'（x）＞0，
∴f（x）的最小值為：f（-a）=ln（-a）+1=$\frac{3}{2}$，
此時a=-$\sqrt{e}$，
綜上所述：a=-$\sqrt{e}$．

點評 本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，利用導數求閉區間上函數的最值，其中根據導函數的解析式，對參數a進行分析討論是解答本題的關鍵．