Question

15．在邊長為3的正三角形ABC中，E，F，P分別是AB，AC，BC邊上的點，滿足$\frac{AE}{EB}$=$\frac{CF}{FA}$=$\frac{CP}{PB}$=$\frac{1}{2}$，將△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，連結A₁B，A₁P（如圖），則以下結論錯誤的是（　　）

• A． CF∥平面A₁EP
• B． A₁E⊥平面BEP
• C． 點B到面A₁PF的距離為$\sqrt{3}$
• D． 異面直線BP與A₁F所成角的余弦值為$\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 A，由$\frac{AE}{EB}$=$\frac{CF}{FA}$=$\frac{CP}{PB}$=$\frac{1}{2}$，⇒CF∥EP，⇒CF∥平面A₁EP
B，利用面面垂直的性質定理判斷；
C，點B到面A₁PF的距離進行轉化，B到面面A₁PF的距離即為E到面面A₁PF的距離，E到面A₁PF的距離即為△A₁EF中E到A₁F的距離；
D，DF∥BP∴∠DFA₁即為所求角

解答 解：對于A，由$\frac{AE}{EB}$=$\frac{CF}{FA}$=$\frac{CP}{PB}$=$\frac{1}{2}$，⇒CF∥EP，⇒CF∥平面A₁EP，故正確；
對于B，在圖1中，取BE的中點D，連DF，滿足$\frac{AE}{EB}$=$\frac{CF}{FA}$=$\frac{CP}{PB}$=$\frac{1}{2}$，∵AF=AD=2，又∠A=60°∴△ADF為正三角形
又∵AE=ED=1∴EF⊥AD∴在圖2中有A₁E⊥EF，BE=EF
∴∠A₁EB為二面角A₁-EF-B的平面角∵二面角A₁-EF-B為直二面角∴A₁E⊥BE
又∵BE∩EF=E，∴A₁E⊥面BEF，即A₁E⊥面BEP，故正確；
對于C．∵BE∥PF∴BE∥面A₁PF，∵B到面面A₁PF的距離即為E到面面A₁PF的距離，
∵BE⊥面A₁EF，又BE∥PF，∴PF⊥面A₁EF
∴面A₁EF⊥面A₁PF∵E到面A₁PF的距離即為△A₁EF中E到A₁F的距離
d=A₁E×sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故錯；
對于D，∵DF∥BP∴∠DFA₁即為所求角
△A₁DF中A₁D=，DF=2，A₁F=2，由余弦定理得cos∠DFA1=$\frac{3}{4}$，故正確；
故選：C．

點評 本題考查直線與平面平行、垂直的證明，考查點面距，考查異面直線所成角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意問題的轉化．