Question

16．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是側(cè)棱PA的中點(diǎn)．
（1）求證：PC∥平面BDE
（2）求三棱錐P-CED的體積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，則OE∥PC，由此能證明PC∥平面BDE．
（2）三棱錐P-CED的體積V_P-CED=V_C-PDE，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，
∵四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，
∴O是AC中點(diǎn)，
∵E是側(cè)棱PA的中點(diǎn)，∴OE∥PC，
∵PC?平面BDE，OE?平面BDE，
∴PC∥平面BDE．
解：（2）∵四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，
側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是側(cè)棱PA的中點(diǎn)，
∴PA⊥CD，AD⊥CD，
∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，
∵S_△PDE=$\frac{1}{2}×AD×PE$=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，
∴三棱錐P-CED的體積V_P-CED=V_C-PDE=$\frac{1}{3}×{S}_{△PDE}×CD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．