Question

11．已知直線l₁：kx-y+4=0與直線l₂：x+ky-3=0（k≠0）分別過定點A、B，又l₁、l₂相交于點M，則|MA|•|MB|的最大值為$\frac{25}{2}$．

Answer 1

分析 先計算出兩條動直線經過的定點，即A和B，注意到兩條動直線相互垂直的特點，則有MA⊥MB；再利用基本不等式放縮即可得出|MA|•|MB|的最大值．

解答 解：由題意可知，直線l₁：kx-y+4=0經過定點A（0，4），
直線l₂：x+ky-3=0經過點定點B（3，0），
注意到kx-y+4=0和直線l₂：x+ky-3=0始終垂直，M又是兩條直線的交點，
則有MA⊥MB，∴|MA|²+|MB|²=|AB|²=25．
故|MA|•|MB|≤$\frac{25}{2}$（當且僅當|MA|=|MB|=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$時取“=”）
故答案為：$\frac{25}{2}$．

點評 本題是直線和不等式的綜合考查，特別是“兩條直線相互垂直”這一特征是本題解答的突破口，從而有|MA|²+|MB|²是個定值，再由基本不等式求解得出．直線位置關系和不等式相結合，不容易想到，是個靈活的好題．