Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（m，1），且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角為$\frac{π}{4}$．
（1）求|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|；
（2）若（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$）與$\overrightarrow{b}$垂直，求實數λ的值．

Answer 1

分析 （1）由cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{m}{\sqrt{{m}^{2}+1}}=cos\frac{π}{4}$，求出m=1，由此能求出|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|．
（2）由$\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}$=（1+λ，λ），（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$）與$\overrightarrow{b}$垂直，能求出實數λ的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（m，1），且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角為$\frac{π}{4}$．
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=m，|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{m}^{2}+1}$，
cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{m}{\sqrt{{m}^{2}+1}}=cos\frac{π}{4}$，解得m=1，或m=-1（舍）
∴$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$=（-1，-2），
∴|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（-1）^{2}+（-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$．
（2）∵$\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}$=（1+λ，λ），
（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$）與$\overrightarrow{b}$垂直，
∴$（\overrightarrow a+λ\overrightarrow b）•\overrightarrow b=1+2λ=0$，
解得$λ=-\frac{1}{2}$．

點評 本題考查向量的模的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量垂直的性質的合理運用．