Question

12．設函數f（x）=2${\;}^{\sqrt{|x|+1}}$-$\frac{3}{1+{x}^{2}}$，則使得f（x²+$\frac{2}{3}$x+2）＞f（-x²+x-1）成立的x的取值范圍是x＞-$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 根據函數的表達式可知函數f（x）為偶函數，判斷函數在x大于零的單調性為遞增，可得x²+$\frac{2}{3}$x+2＞x²-x+1，解不等式即可．

解答 解：f（x）=2${\;}^{\sqrt{|x|+1}}$-$\frac{3}{1+{x}^{2}}$，定義域為R，
∵f（-x）=f（x），
∴函數f（x）為偶函數，
當x＞0時，f（x）=2${\;}^{\sqrt{|x|+1}}$-$\frac{3}{1+{x}^{2}}$，函數單調遞增，
根據偶函數性質可知：得f（x²+$\frac{2}{3}$x+2）＞f（x²-x+1）成立，
∴x²+$\frac{2}{3}$x+2＞x²-x+1
∴x＞-$\frac{3}{5}$，
故答案為x＞-$\frac{3}{5}$．

點評 考查了偶函數的性質和利用偶函數圖象的特點解決實際問題，屬于中檔題．