Question

設函數f（x）=ax³+3bx（a，b為實數，a＜0，b＞0），當x∈[0，1]時，有f（x）∈[0，1]，則b的最大值是

 

．

Answer 1

考點：函數單調性的性質

專題：計算題,導數的概念及應用

分析：求導數，利用函數的單調性，結合x∈[0，1]時，有f（x）∈[0，1]，即可b的最大值．

解答： 解：∵f（x）=ax³+3bx，∴f′（x）=3ax²+3b
令f′（x）=0，可得x=±

- b a

，
①

- b a

≥1，則f（x）_max=f（1）=1，∴b∈（0，

1

2

]；
②0＜

- b a

＜1，f（x）_max=f（

- b a

）=1，f（1）≥0，∴b∈（

1

2

，

3

2

]．
∴b的最大值是

3

2

．
故答案為：

3

2

．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的值域，考查學生的計算能力，屬于中檔題．