Question

已知函數f（x）=2cos²

x

2

+sinx，求f（x）的最小正周期和單調遞增區間．

Answer 1

考點：正弦函數的單調性,兩角和與差的正弦函數,二倍角的余弦,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的求值

分析：由條件根據三角函數的恒等變換求得f（x）=

2

sin（x+

π

4

）+1，可得它的最小正周期．令2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數的增區間．

解答： 解：函數f（x）=2cos²

x

2

+sinx=cosx+sinx+1=

2

sin（x+

π

4

）+1，
故它的最小正周期為

2π

2

=π．
令2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得2kπ-

3π

4

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

4

，k∈z，
故函數的增區間為[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]，k∈z．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，三角函數的周期性和求法，正弦函數的單調性，屬于中檔題．