Question

5．已知曲線C的極坐標方程為ρ-4cosθ+3ρsin²θ=0，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l過點M（1，0），傾斜角為$\frac{π}{6}$．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程與直線l的參數方程；
（Ⅱ）若曲線C經過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=2y}\end{array}\right.$后得到曲線C′，且直線l與曲線C′交于A，B兩點，求|MA|+|MB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線C的極坐標方程化為ρ²-4ρcosθ+3ρ²sin²θ=0，由此能求出曲線C的直角坐標方程；由直線l過點M（1，0），傾斜角為$\frac{π}{6}$，能求出直線l的參數方程．
（Ⅱ）由曲線C經過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=2y}\end{array}\right.$后得到曲線C′，求出曲線C′為：（x-2）²+y²=4，把直線l的參數方程代入曲線C′，得：${t}^{2}-\sqrt{3}t-3=0$，設A，B對應的參數分別為t₁，t₂，則t₁+t₂=$\sqrt{3}$，t₁t₂=-3，由此能求出|MA|+|MB|．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C的極坐標方程為ρ-4cosθ+3ρsin²θ=0，∴ρ²-4ρcosθ+3ρ²sin²θ=0，
∴曲線C的直角坐標方程為x²+y²-4x+3y²=0，整理，得（x-2）²+4y²=4，
∵直線l過點M（1，0），傾斜角為$\frac{π}{6}$，
∴直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{y=1+tcos\frac{π}{6}}\\{y=tsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，（t是參數）．
（Ⅱ）∵曲線C經過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=2y}\end{array}\right.$后得到曲線C′，
∴曲線C′為：（x-2）²+y²=4，
把直線l的參數方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，（t是參數）代入曲線C′：（x-2）²+y²=4，得：
${t}^{2}-\sqrt{3}t-3=0$，
設A，B對應的參數分別為t₁，t₂，則t₁+t₂=$\sqrt{3}$，t₁t₂=-3，
∴|MA|+|MB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{3+12}$=$\sqrt{15}$．

點評 本題考查曲線的直角坐標方程與直線的參數方程的求法，考查兩線段和的求法，涉及到直角坐標方程、極坐標方程、參數方程的互化、韋達定理等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．