Question

6．如上圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點E在棱AB上移動，則直線D₁E與A₁D所成角的大小是90°，若D₁E⊥EC，則直線A₁D與平面D₁DE所成的角為30°．

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，設E（1，t，0），0≤t≤2，分別求出$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（1，t，-1），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（-1，0，-1），由$\overrightarrow{{D}_{1}E}$•$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=0，能求出直線D₁E與A₁D所成角的大��；$\overrightarrow{{D}_{1}E}$•$\overrightarrow{EC}$=0，能求出AE的長，即可求出直線A₁D與平面D₁DE所成的角．

解答 解：∵在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點E在棱AB上移動，
∴以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
則D（0，0，0），D₁（0，0，1），A（1，0，0），A₁（1，0，1），C（0，2，0），
設E（1，t，0），0≤t≤2，
則$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（1，t，-1），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（-1，0，-1），
∴$\overrightarrow{{D}_{1}E}$•$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=-1+0+1=0，
∴直線D₁E與A₁D所成角的大小是90°．
∵$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（1，t，-1），$\overrightarrow{EC}$=（-1，2-t，0），D₁E⊥EC，
∴$\overrightarrow{{D}_{1}E}$•$\overrightarrow{EC}$=-1+t（2-t）+0=0，
解得t=1，∴AE=1．
平面D₁DE的法向量為$\overrightarrow{EC}$=（-1，1，0），cos＜$\overrightarrow{{A}_{1}D}$，$\overrightarrow{EC}$＞=$\frac{-1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴直線A₁D與平面D₁DE所成的角為30°．
故答案為90°，30°．

點評 本題考查異面直線所成角、線面角的大小的求法，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．