Question

16．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（ I）求證：AC⊥BD₁；
（Ⅱ）是否存在直線與直線 AA₁，CC₁，BD₁都相交？若存在，請你在圖中畫出兩條滿足條件的直線（不必說明畫法及理由）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結BD，推導出D₁D⊥AC，AC⊥BD．由此能證明AC⊥BD₁．
（Ⅱ）作出滿足條件的直線一定在平面ACC₁A₁中，且過BD₁的中點并與直線A₁A，C₁C相交．

解答 （本題滿分9分）
（Ⅰ）證明：如圖，連結BD．
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴D₁D⊥平面ABCD．
∵AC?平面ABCD，∴D₁D⊥AC．
∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
∵BD∩D₁D=D，∴AC⊥平面BDD₁．
∵BD₁?平面BDD₁，∴AC⊥BD₁．…（5分）
（Ⅱ）存在．答案不唯一，
作出滿足條件的直線一定在平面ACC₁A₁中，
且過BD₁的中點并與直線A₁A，C₁C相交．
下面給出答案中的兩種情況，
其他答案只要合理就可以給滿分．（9分）

點評 本題考查線線垂直的證明，考查滿足條件的直線的作法，是中檔題，解題時要認真題、注意空間思維能力的培養．