Question

3．臨近年終，鄭州一蔬菜加工點分析市場發現：當月產量在10噸至25噸時，月生產總成本y（萬元）可以看成月產量x（噸）的二次函數，當月產量為10噸時，月總成本為20萬元，當月產量為15萬噸時，月總成本最低且為17.5萬元．
（1）寫出月總成本y（萬元）關于月產量x（噸）的函數關系；
（2）已知該產品銷售價位每噸1.6萬元，那么月產量為多少時，可獲得最大利潤，并求出最大利潤．

Answer 1

分析 （1）由題意可設：y=a（x-15）²+17.5（a∈R，a≠0），將x=10，y=20代入上式解出即可得出．
（2）設利潤為Q（x），則$Q（x）=1.6x-y=1.6x-（\frac{1}{10}{x^2}-3x+40）=-\frac{1}{10}{（x-23）^2}+12.9$，（10≤x≤25），利用二次函數的單調性即可得出．

解答 解：（1）由題意可設：y=a（x-15）²+17.5（a∈R，a≠0），
將x=10，y=20代入上式得：20=25a+17.5，
解得$a=\frac{1}{10}$，
∴$y=\frac{1}{10}{（x-15）^2}+17.5$（10≤x≤25）．
（2）設利潤為Q（x），
則$Q（x）=1.6x-y=1.6x-（\frac{1}{10}{x^2}-3x+40）=-\frac{1}{10}{（x-23）^2}+12.9$，（10≤x≤25），
因為x=23∈[10，25]，所以月產量為23噸時，可獲得最大利潤12.9萬元．

點評 本題考查了二次函數的單調性及其應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．