Question

已知函數f（x）=a+

2

2x-1

為奇函數．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）證明|f（x）|＞1．

Answer 1

考點：不等式的證明,函數奇偶性的性質,絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用,推理和證明

分析：（Ⅰ）通過奇函數的定義，通過比較系數，即可求出實數a的值；
（Ⅱ）證明利用函數的解析式，通過x大于0，小于0，分別求解函數的最值，集合函數的奇偶性證明|f（x）|＞1．

解答： 解：（Ⅰ）解：函數定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
∵f（x）為奇函數，∴f（-x）=-f（x），
即a+

2

2-x-1

=-(a+

2

2x-1

)，
解得a=1．…（6分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知f(x)=1+

2

2x-1

，
①當x∈（0，+∞）時，2x -1＞0，f(x)=1+

2

2x-1

＞1；…（8分）
②當x∈（-∞，0）時，-x∈（0，+∞），f（-x）＞1，…（10分）
由f（x）為奇函數知f（x）=-f（-x）＜-1，
由①、②知|f（x）|＞1．…（12分）

點評：本題考查函數的奇偶性，不等式的證明，函數的最值，考查分析問題解決問題的能力．