Question

已知函數f（x）=

1

3x+ 3

．
（1）若a+b=1，求證：f（a）+f（b）為定值；
（2）設S=f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6），求S的值．

Answer 1

考點：函數的值

專題：函數的性質及應用

分析：（1）把b=1-a代入化簡即可；
（2）由（1）知f（1-x）+f（x）=

3

3

，利用倒序相加法，即可求出結果．

解答： 解：（1）∵f（a）+f（b）=

1

3a+ 3

+

1

3b+ 3

=

1

3a+ 3

+

1

31-a+ 3

=

1

3a+ 3

+

3 3 •3a

3a+ 3

=

3

3

，
∴f（a）+f（b）為定值；
（2）∵f（x）=

1

3x+ 3

，
由（1）知f（1-x）+f（x）=

3

3

，
∴S=f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）
=[f（-5）+f（6）]+[f（-4）+f（5）]+…+[f（0）+f（1）]
=6×

3

3

=2

3

．

點評：本題考查根據題設條件探究規律的能力與意識，此類題最明顯的標志是數據較多，一一求值運算較繁，如果想到了探究其規律，則會使解題過程變得簡單，請注意此類題的特征及做題方式．