Question

13．一半徑為4m的水輪（如圖），水輪圓心O距離水面2m，已知水輪每分鐘轉動4圈，如果當水輪上點P從水中浮現時（圖中點P₀）開始計時．
（1）將點P距離水面的高度h（m）表示為時間t（s）的函數；
（2）在水輪轉動的一圈內，有多長時間點P距水面的高度超過4m．

Answer 1

分析 （1）以0為原點，建立平面直角坐標系．利用三角函數的定義即可表示點P距離水面的高度h（m）表示為時間t（s）的函數
（2）根據（1）中的三角函數關系式，利用三角函數公式化簡即可得答案．

解答 解：（1）建立如圖所示的平面直角坐標系．
依題意，如圖$|φ|=\frac{π}{6}$
易知OP，在ts內所轉過的角為$\frac{4×2π}{60}t=\frac{2π}{15}t$，
故角$\frac{2π}{15}t-\frac{π}{6}$是以Ox為始邊，OP為終邊的角，
故P點的縱坐標為$4sin（{\frac{2π}{15}t-\frac{π}{6}}）$，
故所求函數關系式為$h=4sin（{\frac{2π}{15}t-\frac{π}{6}}）+2（t≥0）$．
（2）由點P距水面的高度超過4m．
即h＞4，
可得：$4sin（\frac{2π}{15}t-\frac{π}{6}）+2＞4$
∴$sin（\frac{2π}{15}t-\frac{π}{6}）＞\frac{1}{2}$．
解得：$\frac{π}{6}+2kπ＜\frac{2π}{15}t-\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}+2kπ，k∈Z$，
∴2.5+15k＜t＜7.5+15k，k∈Z
（7.5+15k）-（2.5+15k）=5．
∴在水輪轉動的一圈內，有5s的時間點P距水面的高度超過4m．

點評 本題考查了三角函數的定義的運用和解析式的求法．要合理建立坐標系是解題的關鍵．屬于中檔題．