Question

4．已知f（x）=x³-2x，過點（1，m）（m≠2）可作曲線y=f（x）的三條切線，則m的取值范圍為（-2，-1）．

Answer 1

分析 設切點為（${x}_{0}，{{x}_{0}}^{3}-2{x}_{0}$），利用導數的幾何意義，求得切線的斜率k=f′（x₀），利用點斜式寫出切線方程，將點（1，m）代入切線方程，可得關于x₀的方程有三個不同的解，利用參變量分離可得2$2{{x}_{0}}^{3}-3{{x}_{0}}^{2}=-2-m$，令g（x）=2x³-3x²，利用導數求出g（x）的單調性和極值，則根據y=g（x）與y=-2-m有三個不同的交點，即可得到m的取值范圍．

解答 解：設切點為（${x}_{0}，{{x}_{0}}^{3}-2{x}_{0}$），
由f（x）=x³-2x，得f′（x）=3x²-2，
∴$f′（{x}_{0}）=3{{x}_{0}}^{2}-2$．
則切線方程為$y-{{x}_{0}}^{3}+2{x}_{0}=（3{{x}_{0}}^{2}-2）（x-{x}_{0}）$．
把（1，m）代入，可得m=$-2{{x}_{0}}^{3}+3{{x}_{0}}^{2}-2$．
∵過點A（1，m）（m≠-2）可作曲線y=f（x）的三條切線，
∴方程m=$-2{{x}_{0}}^{3}+3{{x}_{0}}^{2}-2$有三個不同的根，
令g（x）=2x³-3x²，
∴g′（x）=6x²-6x=0，解得x=0或x=1，
當x＜0時，g′（x）＞0，當0＜x＜1時，g′（x）＜0，當x＞1時，g′（x）＞0，
∴g（x）在（-∞，0）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，
∴當x=0時，g（x）取得極大值g（0）=0，
當x=1時，g（x）取得極小值g（1）=-1，
關于x₀的方程m=$-2{{x}_{0}}^{3}+3{{x}_{0}}^{2}-2$有三個不同的根，
等價于y=g（x）與y=-2-m的圖象有三個不同的交點，
∴-1＜-2-m＜0，
∴-2＜m＜-1，
∴實數m的取值范圍為（-2，-1）．
故答案為：（-2，-1）．

點評 本題考查了利用導數研究曲線上某點切線方程．導數的幾何意義即在某點處的導數即該點處切線的斜率，解題時要注意運用切點在曲線上和切點在切線上．運用了轉化的數學思想方法，對能力要求較高．屬于中檔題．