Question

16．在兩個(gè)正數(shù)a，b之間插入一個(gè)數(shù)x，可使得a，x，b成等差數(shù)列，若插入兩個(gè)數(shù)y，z，可使得a，y，z，b成等比數(shù)列，求證：x+1≥$\sqrt{（y+1）（z+1）}$．

Answer 1

分析 y，z為正數(shù)，可得$\sqrt{（y+1）（z+1）}$≤$\frac{y+1+z+1}{2}$，要證明x+1≥$\sqrt{（y+1）（z+1）}$．（x＞0）．只要證明：2x≥y+z即可．根據(jù)a，x，b成等差數(shù)列，a，y，z，b成等比數(shù)列，a，b＞0．可得2x=a+b，$y=\root{3}{{a}^{2}b}$，z=$\root{3}{a{b}^{2}}$．
令$\root{3}{a}$=m＞0，$\root{3}{b}$=n＞0，可得2x≥y+z?m³+n³≥m²n+mn²?（m-n）²≥0，

解答 證明：∵y，z為正數(shù)，∴$\sqrt{（y+1）（z+1）}$≤$\frac{y+1+z+1}{2}$，
要證明x+1≥$\sqrt{（y+1）（z+1）}$．（x＞0）．
只要證明：2x≥y+z即可．
∵a，x，b成等差數(shù)列，a，y，z，b成等比數(shù)列，a，b＞0，
∴2x=a+b，$y=\root{3}{{a}^{2}b}$，z=$\root{3}{a{b}^{2}}$．
令$\root{3}{a}$=m＞0，$\root{3}{b}$=n＞0，
則2x≥y+z?m³+n³≥m²n+mn²．
?（m-n）²≥0，
上式顯然成立，
因此：x+1≥$\sqrt{（y+1）（z+1）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、基本不等式的性質(zhì)、分析法與綜合法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．