Question

14．已知函數f（x）=（2x²-4ax）lnx+x²．
（1）設a＞0，求函數f（x）的單調區間．
（2）不等式（2x-4a）lnx＞-x對?x∈[1，+∞）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=（4x-4a）（lnx+1），（a＞0），令f′（x）=0，得x=a，或x=$\frac{1}{e}$．分以下三種情況：①當a=$\frac{1}{e}$時，②當0$＜a＜\frac{1}{e}$時，③當a$＞\frac{1}{e}$時，求函數的單調區間；
（2）不等式（2x-4a）lnx＞-x對?x∈[1，+∞）恒成立?不等式x（2x-4a）lnx＞-x²對?x∈[1，+∞）恒成立
?f（x）＞0對?x∈[1，+∞）恒成立，結合（1）求解．

解答 解：（1）函數函數f（x）=（2x²-4ax）lnx+x²的定義域為（0，+∞）．
 f′（x）=（4x-4a）（lnx+1），（a＞0），令f′（x）=0，得x=a，或x=$\frac{1}{e}$．
①當a=$\frac{1}{e}$時，f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，此時函數的增區間為（0，+∞），無減區間；
②當0$＜a＜\frac{1}{e}$時，x∈（0，a），（$\frac{1}{e}，+∞$）時，f′（x）＞0，x$∈（a，\frac{1}{e}）$時，f′（x）＜0，
此時函數的增區間為（0，a），（$\frac{1}{e}，+∞$），減區間為：（a，$\frac{1}{e}$）；
③當a$＞\frac{1}{e}$時，x$∈（0，\frac{1}{e}），（a，+∞）$時，f′（x）＞0，x$∈（\frac{1}{e}，a）$時，f′（x）＜0，
此時函數的增區間為，（0，$\frac{1}{e}$），（a，+∞），減區間為：（$\frac{1}{e}，a$）．
（2）不等式（2x-4a）lnx＞-x對?x∈[1，+∞）恒成立
?不等式x（2x-4a）lnx＞-x²對?x∈[1，+∞）恒成立，
?f（x）＞0對?x∈[1，+∞）恒成立，而f（1）=1＞0，
由（1）得：當0＜a≤1時，函數在[1，+∞）遞增，f（x）≥f（1）＞0，符合題意．
當a＞1時，函數在（1，a）遞減，在（a，+∞）遞增，
故只需f（a）=a²（1-2lna）＞0，即2lna＜1，解得a$＜\sqrt{e}$．
故1$＜a＜\sqrt{e}$符合題意
綜上：a的取值范圍為（0，$\sqrt{e}$）．

點評 本題考查了利用導數求單調區間、函數最值，考查了轉化思想、分類討論思想，屬于中檔題．