Question

4．已知函數f（x）=mx²-mx-1．
（1）若f（x）＜0的解集為（-1，2），求m的值；
（2）若對于x∈R，f（x）＜0恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）若對于x∈[1，3]，f（x）＜5-m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（x）＜0的解集為（-1，2），得到-1，2是方程mx²-mx-1=0的兩個根，且m＞0，即可求出m的值．
（2）若f（x）＜0恒成立，則m=0或$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{△={m}^{2}+4m＜0}\end{array}\right.$，分別求出m的范圍后，綜合討論結果，可得答案．
（3）若對于x∈[1，3]，f（x）＜5-m恒成立，則m（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$m-6＜0，x∈[1，3]恒成立，結合二次函數的圖象和性質分類討論，綜合討論結果，可得答案．

解答 解：（1）f（x）＜0的解集為（-1，2），
∴-1，2是方程mx²-mx-1=0的兩個根，且m＞0，
∴-1×2=$\frac{1}{m}$，
解得m=$\frac{1}{2}$
（2）當m=0時，f（x）=-1＜0恒成立，
當m≠0時，若f（x）＜0恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{△={m}^{2}+4m＜0}\end{array}\right.$
解得-4＜m＜0
綜上所述m的取值范圍為（-4，0]
（3）要x∈[1，3]，f（x）＜5-m恒成立，
即m（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$m-6＜0，x∈[1，3]恒成立．
令g（x）=m（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$m-6，x∈[1，3]，
當m＞0時，g（x）是增函數，
所以g（x）_max=g（3）=7m-6＜0，
解得m＜$\frac{6}{7}$．
所以0＜m＜$\frac{6}{7}$，當m=0時，-6＜0恒成立．
當m＜0時，g（x）是減函數．
所以g（x）_max=g（1）=m-6＜0，
解得m＜6．
所以m＜0．
綜上所述，m＜$\frac{6}{7}$

點評 本題考查的知識點是函數恒成立問題，函數的最值，其中將恒成立問題轉化為最值問題是解答此類問題的關鍵．