Question

13．在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）與曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{cosθ}}\\{y=tanθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）相交于不同的兩點(diǎn)A，B．
（1）若$α=\frac{π}{3}$，求線段AB的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)；
（2）若直線l的斜率為2，且過已知點(diǎn)P（3，0），求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）若$α=\frac{π}{3}$，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入曲線C的普通方程，得t²-6t-16=0，求出線段AB的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的t=3，即可求線段AB的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)；
（2）若直線l的斜率為2，且過已知點(diǎn)P（3，0），利用參數(shù)的幾何意義求|PA|•|PB|的值．

解答 解：（1）由曲線：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{cosθ}}\\{y=tanθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），可得C的普通方程是x²-y²=1…（2分）
當(dāng)$α=\frac{π}{3}$時(shí)，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
代入曲線C的普通方程，得t²-6t-16=0，…（3分）
則線段AB的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的t=3，
故線段AB的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（$\frac{9}{2}，\frac{3\sqrt{3}}{2}$）…（5分）
（2）將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，化簡(jiǎn)得（cos²α-sin²α）t²+6cosαt+8=0，…（7分）
則|PA|•|PB|=|$\frac{8}{co{s}^{2}α-si{n}^{2}α}$|=|$\frac{8（1+ta{n}^{2}α）}{1-ta{n}^{2}α}$|=$\frac{40}{3}$…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程的運(yùn)用，考查參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．