Question

14．函數y=x+2cosx在[0，π]上的最小值為$\frac{5π}{6}$-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 可先利用導數判斷函數的單調性，再利用單調性求最值．

解答 解：y′=1-2sinx=0，得x=$\frac{π}{6}$或x=$\frac{5π}{6}$，
故y=x+2cosx在區間[0，$\frac{π}{6}$]上是增函數，
在區間[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上是減函數，在[$\frac{5π}{6}$，π]是增函數．
又x=$\frac{5π}{6}$時，y=$\frac{5π}{6}$+2cos$\frac{5π}{6}$=$\frac{5π}{6}$-$\sqrt{3}$，
x=0時，y=2＞$\frac{5π}{6}$-$\sqrt{3}$，
所以最小值為：$\frac{5π}{6}$-$\sqrt{3}$，
故答案為：$\frac{5π}{6}$-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查利用函數的單調性求最值、導數的應用、三角函數求值等，難度一般．