Question

9．已知實數x滿足9^x-4×3^x+1+27≤0且f（x）=（log₂$\frac{x}{2}$）（log${\;}_{\sqrt{2}}$$\frac{\sqrt{x}}{2}$）．
（Ⅰ）求實數x的取值范圍；
（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值，并求此時x的值．

Answer 1

分析 （1）轉化為二次不等式求解即可．
（2）根據對數的運算法則，化簡f（x），轉化為二次函數求解值域．

解答 解：（1）實數x滿足9^x-4×3^x+1+27≤0，
化解可得：（3^x）²-12•3^x+27≤0，
即（3^x-3）（3^x-9）≤0，
得3≤3^x≤9，
∴1≤x≤2，
故得x的取值范圍為[1，2]；
（2）f（x）=（log₂$\frac{x}{2}$）（log${\;}_{\sqrt{2}}$$\frac{\sqrt{x}}{2}$）．
化解可得：f（x）=（log₂x-log₂2）（$2lo{g}_{2}\frac{\sqrt{x}}{2}$）
=（log₂x-log₂2）（log₂x-log₂4）
=（log₂x-1）（log₂x-2）
=（$lo{g}_{2}x-\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$
∵x∈[1，2]，
∴log₂x∈[0，1]，
∴0≤=（$lo{g}_{2}x-\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$≤2．
∴當x=2時，f（x）有最小值0，當x=1時，f（x）有最大值2．

點評 本題考查了指數的運算和對數的運算，轉化思想，利用二次函數的配方求解最值問題．屬于基礎題