Question

13．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有頂點均在同一個球面上，且AB=AC=3，∠BAC=60°，AA₁=2．則該球的體積為$\frac{32π}{3}$．

Answer 1

分析 由題意知：△ABC為等邊三角形，設其中心為O，設球心為O₁，則△AO₁O為直角三角形，AO⊥OO₁，由此能求出球的半徑，從而能求出該球的體積．

解答 解：由題意知：
△ABC為等邊三角形，設其中心為O，
則AO=BO=CO=$\sqrt{3}$，
設球心為O₁，則△AO₁O為直角三角形，AO⊥OO₁，
∴球的半徑r=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2，
∴該球的體積為V_球=$\frac{4}{3}π×{2}^{3}$=$\frac{32π}{3}$．
故答案為：$\frac{32π}{3}$．

點評 本題考查球的體積的求法，考查直三棱柱、球等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．