Question

5．已知函數f（x）=|x-a|+|x+a|．
（Ⅰ）當a=2時，解不等式f（x）＞6；
（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）＜a²-1有解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）討論x的范圍，去絕對值符號解出；
（II）利用絕對值不等式的性質求出f_min（x），令f_min（x）＜a²-1解出．

解答 解：（Ⅰ）當a=2時，$f（x）=|{x-2}|+|{x+2}|=\left\{\begin{array}{l}2x，x＞2\\ 4，-2≤x≤2\\-2x，x＜-2\end{array}\right.$．
當x＞2時，可得2x＞6，解得x＞3．
當-2≤x≤2時，因為4＞6不成立，故此時無解；
當x＜-2時，由-2x＞6得，x＜-3，故此時x＜-3．
綜上所述，不等式f（x）＞6的解集為（-∞，-3）∪（3，+∞）．
（Ⅱ）∵f（x）=|x-a|+|x+a|≥|x-a-x-a|=|2a|，
要使關于x的不等式f（x）＜a²-1有解，只需|2a|＜a²-1即可．
當a≥0時，2a＜a²-1，解得$a＞1+\sqrt{2}$，或$a＜1-\sqrt{2}$（舍去）；
當a＜0時，-2a＜a²-1，解得$a＞-1+\sqrt{2}$（舍去），或$a＜-1-\sqrt{2}$；
所以，a的取值范圍為$（-∞，-1-\sqrt{2}）∪（1+\sqrt{2}，+∞）$．

點評 本小題主要考查絕對值不等式等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉化思想、分類與整合思想等．